Nombres premiers et Pythagore - Corrigé

Énoncé

On considère un triangle rectangle non aplati de côtés ayant pour mesures respectives  \(a\) , \(b\) et \(p\) avec \(p\) premier supérieur ou égal à \(3\) , comme indiqué sur la figure ci-dessous.

 Exprimer \(a\) et \(b\) en fonction de \(p\) .

Solution

D'après le théorème de Pythagore, on a :
\(\begin{align*}a^2=b^2+p^2& \ \ \Longleftrightarrow \ \ p^2=a^2-b^2\\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ p^2=(a-b)(a+b).\end{align*}\)  

Ainsi, \((a-b)\) et \((a+b)\) sont des diviseurs de \(p^2\) , avec clairement \(a-b car \(b\) est strictement positif.

Comme \(p\) est premier, les seuls diviseurs de \(p^2\) sont \(1\) , \(p\) et \(p^2\) .

Il est exclu que \(a-b=p\) , car on aurait alors \(a+b=p\) et donc \(a-b=a+b\) (c'est-à-dire \(b=0\) ). La seule alternative est donc :
\(\begin{align*}\left\lbrace \begin{array}{l}a-b=1 \\ a+b=p^2\end{array} \right.& \ \ \Longleftrightarrow \ \ \left\lbrace \begin{array}{ll}a-b=1 \\ 2a=p^2+1 & L_2 \leftarrow L_2+L_1\end{array} \right.\end{align*}\)  
donc \(a=\dfrac{p^2+1}{2}\) et \(b=a-1=\dfrac{p^2+1}{2}-1=\dfrac{p^2-1}{2}\) .